#1 Come bisogna dimensionare la frequenza di campionamento una volta noto il tempo di salita? (Daniele Cremonini)

La frequenza minima di campionamento va determinata, con il teorema di Shannon, in base alla frequenza massima presente nei segnali che si intende campionare o, perlomeno, della componente a frequenza massima del segnale che si intende riprodurre correttamente. Il "tempo di salita" fornisce una indicazione di massima sulla banda passante di un sistema dinamico lineare e può quindi venire utilizzato per un dimensionamento, pure di massima, del campionamento da effettuare sull'uscita di tale sistema. Regole empiriche talvolta utilizzate consistono nell'adottare un tempo di campionamento pari ad un decimo del tempo di salita o di quello di assestamento.

#2 Oltre al tempo di salita cosa si può osservare per stabilire le costanti di tempo? (Daniele Cremonini)

Le costanti di tempo di un sistema lineare sono deducibili dai poli dello stesso, quindi dalla conoscenza della funzione di trasferimento. La funzione di trasferimento determina anche la risposta frequenziale e può quindi venire utilizzata per determinare, in maniera non empirica, un campionamento idoneo sull'uscita. Si noti come l'eventuale presenza nel segnale di ingresso di frequenze superiori a quelle riproducibili dal sistema non giochi (nei sistemi lineari) alcun ruolo nella determinazione del tempo di campionamento.

#3 Non ho ben capito perché il sottospazio di raggiungibilità di un sistema lineare e stazionario sia il più piccolo invariante rispetto ad A contenente l'immagine di B. (Pierpaolo Libanori)

Per il sottospazio di raggiungibilità abbiamo ricavato, sia per i sistemi continui che per quelli discreti, l'espressione im[B AB ... A^(n-1)B]. L'invarianza rispetto ad A è quindi una conseguenza immediata del teorema di Cayley-Hamilton; l'espressione precedente evidenzia inoltre come l'immagine di B risulti contenuta in tale sottospazio. Consideriamo adesso un sottospazio generico, Z, invariante rispetto ad A e contenente l'immagine di B; ne segue che (i vettori costituiti dal)le colonne di B appartengono a Z. Per l'ipotesi di invarianza di Z rispetto ad A anche le colonne di AB ... A^(n-1)B apparterranno a Z; quindi l'intero sottospazio di raggiungibilità è contenuto in Z. Essendo però Z un qualunque sottospazio invariante rispetto ad A e contenente l'immagine di B, ne segue che il sottospazio di raggiungibilità è contenuto in ogni sottospazio invariante rispetto ad A e contenente l'immagine di B. È quindi il più piccolo sottospazio che goda di tale proprietà.

#4 Non mi è molto chiara la regola che lei ha esposto a lezione riguardante la matrice P=[B AB....A^(n-1)B] relativa alla lineare dipendenza delle sue colonne. Non riesco inoltre a capire l'importanza pratica di questa regola. (Stefano Lucente)

L'espressione della matrice di raggiungibilità che abbiamo ricavato si presta a tre considerazioni di carattere pratico particolarmente utili nel calcolo manuale non tanto e non solo di tale matrice ma, soprattutto, del sottospazio di raggiungibilità generato dalle sue colonne. La prima osservazione riguarda le sottomatrici A^kB che risulta vantaggioso calcolare premoltiplicando per A il blocco precedente, evitando cioè il calcolo esplicito di A^k; tale modo di procedere riduce la mole di calcoli e la possibilità di errori. Le osservazioni relative alla lineare dipendenza delle colonne riducono, egualmente, i calcoli necessari alla determinazione di im(P). La prima osservazione riguarda la lineare dipendenza di tutti i blocchi successivi alla prima sottomatrice le cui colonne risultino tutte linearmente dipendenti dalle precedenti; è ovvio l'uso di tale risultato: anziché calcolare tutti i blocchi di P ed applicare l'algoritmo di Gram-Schmidt alle colonne di tale matrice, si calcolerà un blocco alla volta valutando la lineare dipendenza delle sue colonne dai vettori precedenti sospendendo la procedura quando si incontra un blocco le cui colonne siano tutte linearmente dipendenti dalle precedenti. La seconda osservazione riguarda la lineare dipendenza di tutti i vettori di posizione omologa nei blocchi successivi quando si osserva la lineare dipendenza (da tutti i vettori precedenti) di un singolo vettore all'interno di un blocco di P; l'uso pratico di tale proprietà, del tutto simile al precedente, consente di ridurre al minimo le operazioni necessarie al calcolo di una base del sottospazio di raggiungibilità. Esempi numerici di applicazione di tali regole sono riportati negli esercizi 1 (Raggiungibilità, osservabilità e stabilità) e 2 (Scomposizione di Kalman, forma minima) del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi e Applicazioni.

#5 Perché è importante poter influire sulla prontezza della stima di un osservatore dello stato? Con la locuzione "prontezza della stima" intendo la velocità con cui la stima stessa tende ad eguagliare lo stato effettivo del sistema. (Pierpaolo Libanori)

L'osservatore dello stato è un sistema dinamico che, collegato all'ingresso ed all'uscita di un sistema di cui si vuole osservare lo stato, è soggetto ad una evoluzione che porta il suo stato a coincidere, asintoticamente, con quello del sistema da osservare. Una volta che tale coincidenza è stata acquisita, gli stati dei due sistemi hanno la stessa evoluzione. Lo stato iniziale dell'osservatore viene, in assenza di altre informazioni, azzerato; l'errore di stima ha una evoluzione che, come si è visto, dipende solo dalla matrice dinamica dell'osservatore stesso. Una elevata prontezza riduce la durata di tale transitorio, rende cioè la stima accurata dopo un tempo sufficientemente breve rispetto al momento nel quale l'osservatore è stato collegato; tale vantaggio è tuttavia bilanciato dalla maggior sensibilità dell'osservatore rispetto ai disturbi inevitabilmente presenti sulle misure degll'ingresso e dell'uscita del sistema da osservare. Nella pratica la matrice dinamica dell'osservatore viene scelta in base ad un compromesso tra prontezza e insensibilità ai disturbi.

#6 Vorrei sapere che cosa è una matrice ciclica e che ruolo ha nella raggiungibilità dei sistemi lineari e stazionari con un unico ingresso. (Mirko Tedaldi)

Una matrice A (n x n) può venire definita ciclica quando consente di generare l'intero spazio mediante un unico generatore; in altri termini quando esiste un vettore v (n x 1) tale che la matrice [v Av ... A^(n-1)v] sia di rango massimo. Un sistema dotato di un solo ingresso può risultare completamente raggiungibile solo se la relativa matrice dinamica è ciclica. Tale proprietà può venire espressa anche in altri modi, ad esempio facendo riferimento alla forma di Jordan o al polinomio minimo e a quello caratteristico della matrice (che risultano coincidenti per le matrici cicliche). In una matrice non ciclica la dimensione massima del sottospazio generato da un singolo generatore coincide con il grado del polinomio minimo.

#7 Non ho capito perché risulti completamente raggiungibile un sistema dinamico la cui matrice dinamica sia in forma di Jordan ed in cui le righe della matrice di distribuzione degli ingressi corrispondenti all'ultima riga dei blocchi di Jordan associati allo stesso autovalore siano linearmente indipendenti. (Gabriele Tinti)

Il Teorema cui fa riferimento la proprietà descritta (e quella duale relativa alla osservabilità) è basato sulle proprietà dei sottospazi generati da una matrice non ciclica, quindi con più blocchi di Jordan associati allo stesso autovalore. Per tali matrici (si veda anche la domanda 8) un solo generatore non può generare l'intero spazio. Una dimostrazione del teorema in oggetto è riportata, sul testo Teoria dei Sistemi e del Controllo di G. Marro.

#8 Sono corrette, per i sistemi lineari e stazionari, le seguenti implicazioni?

1 - controllabilità
2 - raggiungibilità
3 - completa controllabilità
4 - completa raggiungibilità
5 - osservabilità
6 - ricostruibilità
7 - diagnosticabilità
8 - incasellabilità
9 - completa osservabilità
10 - completa ricostruibilità

5=>6, 7=>8, 9=>10, 9=>7=>5 quindi 9=>6 e 9=>8, 10=>8=>6. (Daniele Cremonini)

Sì. Considerando classi particolari di sistemi dinamici è possibile, come sappiamo, introdurre ulteriori implicazioni.

#9 Nella trattazione dei sistemi lineari non stazionari abbiamo enunciato la proprietà secondo la quale gli elementi della matrice di transizione sono funzioni continue del tempo. Possiamo quindi dire che il moto libero è rappresentato da una funzione continua perchè combinazione lineare di colonne della matrice di transizione?. E per quanto riguarda il moto totale (libero + forzato)? Inoltre, a cosa sono dovute le discontinuità sulla velocità di variazione di stato? (Luca Roffia)

L'interpretazione relativa al moto libero è corretta. Per quanto riguarda il moto forzato è sufficiente osservare come la funzione di ingresso sia presente solo sotto il segno di integrale; eventuali discontinuità dell'ingresso non danno quindi luogo a discontinuità del moto. Le discontinuità possibili sulla velocità di variazione dello stato sono dovute all'azione diretta (algebrica) dell'ingresso su tale velocità (termine B(t)u(t) nell'equazione di stato).

#10 Nella trattazione della controllabilità ed osservabilità dei sistemi dinamici lineari, facendo riferimento alla forma di Jordan, sono stati ricavati il numero minimo di ingressi compatibili con la completa raggiungibilità ed il numero minimo di uscite compatibili con la completa osservabiltà. Non ho ben chiaro come sono stati ricavati ed inoltre il legame che sussiste fra essi. (Luca Roffia)

Il risultato cui lei fa riferimento non è stato ricavato ma solo enunciato (si veda anche la risposta 9). Il numero minimo di ingressi compatibile con la completa raggiungibilità coincide con quello di uscite compatibile con la completa osservabilità essendo entrambi pari al numero massimo di blocchi di Jordan associati allo stesso autovalore della matrice dinamica del sistema in base al Teorema che abbiamo visto durante il corso.

#11 In che caso, nei sistemi lineari non stazionari continui, il sottospazio R⁺ risulta uguale al sottospazio R^-? E se il sistema è discreto, come possiamo dire che dim R⁺ è minore o uguale a dim R^-? È forse dovuto al fatto che, in questo caso, la matrice di transizione può essere singolare? (Luca Roffia)

Il legame tra i sottospazi di raggiungibilità e di controllabilità relativi allo stesso intervallo di tempo è costituito dalla matrice di transizione relativa a tale intervallo. La non singolarità di tale matrice assicura, nel caso continuo, l'uguaglianza delle dimensioni di tali sottospazi. Nel caso discreto, qualora la matrice di transizione risulti singolare, il sottospazio di controllabilità avrà dimensione maggiore di quello di raggiungibilità includendo anche lo spazio nullo di tale matrice (si rivedano gli esempi fatti durante le lezioni).

#12 Nei sistemi dinamici lineari e non stazionari non ho ben capito il legame tra le matrici dinamica e di distribuzione degli ingressi nel passaggio dal modello continuo a quello discreto. (Luca Roffia)

Nella discretizzazione di un modello continuo la matrice dinamica del modello discreto è semplicemente la matrice di transizione di quello continuo negli intervalli considerati. Più complessa la deduzione della matrice di distribuzione degli ingressi del modello discreto che viene ricavata considerando l'espressione del moto dei due modelli ed eguagliando gli stati iniziali e finali degli intervalli di campionamento; supponendo la funzione di ingresso costante in tali intervalli il contributo allo stato finale dovuto al moto forzato nell'intervallo [kT,(k+1)T] può venire espresso nella forma B(k)u(k) che definisce la matrice di distribuzione degli ingressi, B(k), del modello discreto.

#13 Non ho ben capito quali sono le relazioni tra poli della funzione di trasferimento e le caratteristiche del sistema in genere (poli ed autovalori, poli e raggiungibilita' e/o osservabilita' ...). (Alessandro Cevoli)

Si definiscono poli di un sistema dinamico lineare e stazionario gli zeri dei denominatori degli elementi della matrice (funzione) di trasferimento. Come sappiamo (scomposizione canonica di Kalman), la funzione di trasferimento descrive la sola parte raggiungibile ed osservabile del sistema; i poli coincidono quindi con gli autovalori della matrice dinamica associati a tale parte (= autovalori della sottomatrice A₂₂ nella scomposizione canonica di Kalman).

#14 Considerando la banda passante della rete telefonica qual'è la frequenza massima in bps che posso trasferirvi? (Alessandro Cevoli)

La massima frequenza di cifra che può essere trasmessa con probabilità di errore comunque piccola su un canale di banda B, che opera con rapporto segnale/rumore S/N, (cioè la capacità C del canale) è data dalla formula di Shannon C=B*log2(1+S/N). (Risposta a cura del prof. Leonardo Calandrino)

#15 Desidererei chiarimenti sull'argomento "poli dominanti di un sistema"; nella biblioteca ho trovato poche informazioni e per altro scritte male. Grazie. (Lucio Vigness da Napoli)

I poli dominanti vengono usualmente considerati quando si desidera approssimare un modello di ordine elevato con un modello di ordine ridotto, quando cioè si preferisce sostituire un modello esatto ma complesso con un modello più semplice ma meno preciso. La considerazione di base è la seguente: il moto e la risposta di un sistema non sono influenzati nello stesso modo da tutti i modi del sistema in quanto quelli che hanno una dinamica più lenta "mascherano" (per così dire) quelli a dinamica più veloce. Supponiamo allora di effettuare un cambiamento di base nello spazio degli stati che porti la matrice dinamica del sistema alla forma di Jordan; l'intero sistema può venire considerato ora come formato da tanti sottosistemi collegati in parallelo, ognuno dei quali con matrice dinamica data da un blocco di Jordan. Eliminiamo ora tutti i sottosistemi associati agli autovalori cui corrispondono modi ad evoluzione veloce (cioè quelli più lontani dall'asse immaginario nel caso continuo, quelli a modulo minore nel caso discreto) lasciando invece i rimanenti; il sistema che si ottiene in questo modo ha solo una parte degli autovalori (e dei poli) di quello iniziale e non ne descrive esattamente la dinamica; in molti casi tuttavia il risultato (che dipende, ovviamente, dalla entità dell'intervento e dalla distribuzione degli autovalori del sistema) è del tutto accettabile. Queste operazioni, descritte per un modello nello spazio degli stati per maggior chiarezza, possono venire effettuate direttamente sulla funzione di trasferimento del sistema; queste tecniche sono state infatti introdotte proprio con riferimento a modelli di questo tipo. Un modo diverso ma sostanzialmente equivalente per valutare queste operazioni consiste nel fare riferimento al contributo dato dai singoli poli alla risposta frequenziale del sistema (diagrammi di Bode, usati nell'ambito della teoria classica dei controlli automatici). In questo contesto vengono eliminati dalla funzione di trasferimento quei poli cui corrispondono frequenze di taglio più elevate; è infatti evidente come la risposta frequenziale dell'intero sistema sia condizionata in primo luogo da quei poli cui corrispondono le frequenze di taglio più basse. Le considerazioni precedenti sono puramente qualitative e costituiscono solo una descrizione introduttiva all'argomento citato; per una applicazione non empirica vanno introdotte opportune funzioni costo che forniscano una misura dello scostamento tra le prestazioni del modello di ordine ridotto e quello iniziale. Tali funzioni inoltre saranno, in genere, legate all'uso previsto per il modello. Esistono, infine, molte altre tecniche di approssimazione di un modello di ordine elevato con modelli di ordine ridotto che risultano in genere più efficaci di quella descritta in quanto non mantengono una parte dei poli del modello iniziale in quello di ordine ridotto.

#16 Vorrei sapere come si può sfruttare la funzione di trasferimento se è data nel dominio dei tempi; in altre parole y(t)=G(s)*u(t) ove G(s) è una funzione razionale propria o strettamente propria nell'operatore differenziale s. Come si può calcolare, per esempio, y(t), con u(t)=V_m*sen(omega*t) senza passare per G(j*omega)? (Daniele Cremonini)

Va anzitutto rilevato come la funzione di trasferimento abbia la stessa espressione sia se considerata nell'operatore differenziale (s nel nostro caso), quindi nel dominio dei tempi, sia se espressa nella variabile complessa s. Nel primo caso la funzione di trasferimento descrive una equazione differenziale che lega l'uscita e le sue derivate all'ingresso e alle relative derivate. Volendo quindi calcolare la risposta ad un determinato ingresso nel dominio dei tempi sarà necessario trovare la soluzione di tale equazione differenziale corrispondente alla funzione di ingresso applicata ed alle condizioni iniziali del sistema. Considerando la funzione di trasferimento come trasformata di Laplace della risposta impulsiva del sistema è poi possibile, antitrasformando la G(s), ottenere la W(t) e, nel dominio dei tempi, la risposta a qualunque funzione di ingresso u(t) calcolando, come abbiamo visto a lezione, un integrale di convoluzione; in questo modo vengono considerate condizioni iniziali nulle (stato inziziale zero) e viene calcolata la sola risposta forzata del sistema. Un'ultima via consiste nel calcolare la L-trasformata, U(s), della funzione di ingresso e nell'antitrasformare la trasformata di Laplace della risposta (forzata) Y(s)=G(s)U(s). Le tre vie precedenti utilizzano direttamente la funzione di trasferimento; è naturalmente possibile anche ottenere una realizzazione nello spazio degli stati della G(s) ed operare nel dominio dei tempi, come abbiamo visto più volte, su tali rappresentazioni.

#17 Perché una retroazione ingresso-uscita in un sistema lineare e stazionario completamente raggiungibile ed osservabile non permette di allocare ad arbitrio gli autovalori della matrice dinamica?
Le volevo chiedere se è esaustiva una risposta di questo tipo: Una retroazione ingresso-uscita non permette di far retroagire tutte le informazioni sullo stato e quindi posizionare ad arbitrio gli autovalori, ma solo una parte di esse, poiché si fa retroagire una trasformazione lineare dello stato secondo la matrice C, non lo stato stesso. (Gabriele Tinti)

La risposta che lei formula è sostanzialmente corretta. Dalla scomposizione canonica di Kalman di un sistema generico è immediato verificare come una retroazione algebrica ingresso-uscita agisca solo sulla parte raggiungibile ed osservabile del sistema. L'uscita in un certo istante, d'altronde, non è detto fornisca una conoscenza completa dello stato di tale parte.

#18 Nel caso di sistemi lineari stazionari, nel calcolo del sottospazio di raggiungibilità un'espressione del tipo Be^Atx=0 essendo analitica, è nulla in [0,t₁] se si annulla in un punto dell'intervallo, quindi in tutto l'intervallo e quindi anche in 0. Di qui lo sviluppo dell'espressione di R⁺ che risulta indipendente da t. Vorrei sapere se il fatto che l'annullarsi in un punto implichi l'annullarsi in tutto l'intervallo, è dovuto al fatto che il sistema è stazionario e quindi ogni valore di t può essere preso come istante iniziale. (Vittorio Teglia)

La analiticità della funzione di transizione costituisce, in effetti, una delle conseguenze algebriche della stazionarietà del sistema.

#19 Non mi è chiaro perché prendendo come base dello spazio degli stati la matrice T=[T₁ T₂] con T₁ base di R⁺ e T₂ che completi una base dello spazio degli stati, la matrice di distribuzione degli ingressi assuma la struttura T^-1B = [B₁ 0]^T in conseguenza del fatto che R⁺ è il minimo invariante rispetto ad A che contiene Im(B) e non come logica deduzione di B dal modello differenziale ottenuto dal cambio di base. (Vittorio Teglia)

Come ho sottolineato a lezione, la struttura di B rispetto alla base considerata può venire dedotta indifferentemente in base a considerazioni algebriche sulla nuova base (essendo T₁ base di R⁺, le colonne di B in tale base avranno componenti non nulle solo rispetto alle colonne di T₁) oppure geometriche, considerando cioè che Im(B) è contenuto in R⁺. Le considerazioni geometriche portano, in genere, ad una comprensione più chiara delle proprietà.

#20 Vorrei sapere per quale motivo l'invertibilità della matrice di transizione è una caratteristica intrinseca dei sistemi continui mentre non lo è per quelli discreti? Da che cosa dipende questa caratteristica? (Vittorio Teglia)

Nei modelli continui la matrice di transizione è data dall'esponenziale della matrice dinamica e tale funzione di matrice è, come noto, sempre non singolare; nei modelli discreti invece la matrice di transizione, essendo la potenza della matrice dinamica, risulterà singolare quando lo è la matrice dinamica. Tutto questo dal punto di vista matematico; naturalmente se consideriamo il modello discreto di un sistema continuo, la matrice dinamica coinciderà con l'esponenziale, relativo all'intervallo di campionamento, della matrice dinamica del modello continuo e sarà quindi sempre non singolare.

#21 Non mi è chiaro come, nel caso di sistemi lineari non stazionari discreti, si determini il sottospazio R^-(j,i,0) quando la matrice di transizione è singolare; non potendo utilizzare l'inversa di tale matrice posso forse utilizzare al suo posto una funzione legata alla pseudoinversa? (Vittorio Teglia)

Quello che occorre calcolare è l'immagine inversa, secondo la trasformazione lineare descritta dalla matrice di transizione, del sottospazio R⁺(j,i,0). Si trasformerà quindi, come abbiamo visto a lezione, R⁺(j,i,0) mediante la pseudoinversa della matrice di transizione e si sommerà lo spazio nullo della matrice di transizione stessa.

#22 Retroazione stato-ingresso nei sistemi lineari e stazionari: come vengono modificate le proprietà di raggiungibilità e osservabilità? In particolare perché R⁺(0) non è alterato in dimensione e orientamento mentre il sottospazio di inosservabilità può venire modificato? (Vittorio Teglia)

Può verificare facilmente tali proprietà per via algebrica facendo riferimento alla matrice dinamica del sistema chiuso in retroazione (A + BK) ed alle espressioni dei sottospazi di raggiungibilità e di inosservabilità, come abbiamo fatto a lezione. Considerando la matrice dinamica in forma di Jordan ed il teorema relativo alle condizioni di raggiungibilità ed osservabilità relativo a tale rappresentazione si possono verificare, in maniera molto diretta, le proprietà precedenti. Una ulteriore verifica della invarianza del sottospazio di raggiungibilità rispetto ad una retroazione stato-ingresso, si può ottenere facendo riferimento alla scomposizione canonica di Kalman ed osservando che l'ingresso, non potendo agire sulle parti non raggiungibili, non può modificare le caratteristiche di raggiungibilità di tali parti.

#23 Date le matrici A,B,C,D di un sistema dinamico, in un esercizio vengono richiesti gli autovalori della forma minima. Ho calcolato una base del sottospazio di inosservabilità ed ho effettuato la separazione del sistema in parte osservabile e in parte inosservabile. Poi ho calcolato gli autovalori della parte osservabile e con questo dovrei avere terminato. C'è un metodo più rapido? In particolare è sempre indispensabile effettuare il cambiamento di base con T^-1AT o tale passaggio può essere omesso sfruttando le proprietà degli endomorfismi? Il dubbio mi viene perché ricordo che a lezione ha detto che se la matrice T è ortonormale allora qualcosa (che non ricordo) si riduce ad una permutazione delle righe/colonne di A. (Daniele Cremonini)

Il procedimento da lei seguito è corretto ed applicabile in generale. Quando il sottospazio di inosservabilità, E^-(0,0), ammette una base costituita da alcune colonne (non necessariamente adiacenti) della matrice identità, la scomposizione del sistema in parte osservabile (forma minima) e parte non osservabile può venire effettuata selezionando opportunamente gli elementi delle matrici A, B e C; in tale caso infatti le matrici T^-1 e T, se costruite con colonne dell'identità (pur essendo questa la scelta più consigliabile, non è l'unica possibile), effettuano solo permutazioni di righe e di colonne. Il procedimento è stato esemplificato, anche in relazione alla scomposizione del sistema in parte raggiungibile e non raggiungibile ed alla scomposizione canonica di Kalman, in vari esercizi svolti durante il corso.

#24 Come si fa ad ottenere la struttura della matrice dinamica A+BH di un sistema dinamico lineare stazionario retroazionato stato-ingresso secondo la scomposizione di Kalman (dagli appunti mi risulta che BH agisca solo su A₁₁ con B₁H₁ e su A₂₂ con B₂H₂; dove sono i termini B₁H₂, B₁H₃, B₁H₄, B₂H₁, B₂H₃ e B₂H₄?). (Cristiano Carretti)

Assumendo, come lei opportunamente fa, la matrice H partizionata in maniera congruente con la matrice dinamica, è immediato verificare come gli 8 termini non nulli che nascono nel prodotto di B e H vadano a sommarsi agli elementi delle prime due righe (a blocchi) di A; l'azione di BH non è quindi limitata alle sole sottomatrici A₁₁ e A₂₂. L'esame della struttura della matrice dinamica del sistema retroazionato consente di verificare l'invarianza, rispetto a tale operazione, del sottospazio di raggiungibilità ed evidenzia anche come tale matrice non corrisponda più ad una scomposizione di Kalman del sistema; questo risultato è d'altronde ben noto poiché una retroazione stato-ingresso può modificare dimensione ed orientamento del sottospazio di inosservabilità. Per ottenere la scomposizione di Kalman del sistema retroazionato sarà quindi necessario applicare la relativa procedura alla terna di matrici ((A+BH),B,C).

#25 Ho scritto negli appunti che due stati di sistemi lineari sono indistinguibili quando danno luogo a risposte libere uguali. Secondo me non è corretto. Perché, se le risposte libere sono uguali, non posso dire che i due stati sono equivalenti ma devo limitarmi a dire che sono indistinguibili? (Gianni Rondinini)

Gli stati che, in un sistema lineare, generano risposte libere uguali sono ovviamente equivalenti essendo, in tali sistemi, additivo il moto forzato. Stati equivalenti sono, naturalmente, anche indistinguibili su ogni intervallo.

#26 Ho scritto negli appunti che l'insieme E⁺(0,0) di un generico sistema potrebbe avere più di un elemento anche se l'insieme E^-(0,0) ne ha uno solo. Non riesco a capire bene il motivo: è forse perché il sistema potrebbe essere tempovariante? (Gianni Rondinini)

La proprietà cui lei credo faccia riferimento è formulata in termini opposti; può infatti accadere che E⁺(0,0) contenga un solo elemento ed E^-(0,0) ne contenga più di uno, ma non l'inverso, a causa della unicità del moto generato da uno stato iniziale e da una funzione di ingresso. Ciò avviene quando la matrice di transizione del sistema è singolare e questo è possibile nei sistemi discreti (ma non nei modelli discreti dei sistemi continui). Se riguarda i suoi appunti troverà un esempio limite che vi ho fatto a lezione, relativo ad un sistema stazionario ed a tempo discreto nel quale E⁺(0,0) contiene un solo elemento mentre E^-(0,0) coincide con l'intero spazio degli stati.

#27 In riferimento alla domanda 4 dell'Esercizio 4 della Sessione Autunnale '96 vorrei sapere se la risposta x(2)=[a b 0 0 ]^T è corretta. Ho dedotto tale risposta dall'osservazione di R⁺(0). Ho poi calcolato la sequenza di ingresso dalla relazione x(2)=[B AB][u(1) u(0)]^T Vorrei sapere se il ragionamento seguito è corretto ed avere eventualmente l'indicazione di un modo di procedere generale. (Michele Berionni)

Lo stato raggiungibile dallo stato zero più vicino ad uno stato assegnato è, in generale, la proiezione ortogonale di tale stato su R⁺(0); il procedimento da lei seguito è quindi corretto. Anche la sequenza di ingresso necessaria può venire ricavata da una relazione del tipo da lei indicato; tale calcolo richiederà, in generale, la pseudoinversione di una matrice.

#28 In un sistema composto da due sottosistemi lineari completamente raggiungibili connessi in parallelo fra di loro, ho degli elementi sui singoli sottosistemi che mi possano garantire la completa raggiungibilità dell'intero sistema? (Federico Dall'Olio)

Se si escludono strutture particolari (es. Jordan) delle matrici dinamiche di tali sottosistemi, la condizione resta quella del rango massimo della matrice di controllabilità del sistema complessivo.

#29 Un sistema discreto in cui la matrice di transizione è singolare, è sempre riconducibile ad un sistema continuo? (Federico Dall'Olio)

Come abbiamo sottolineato più volte a lezione, la matrice dinamica del modello discreto di un sistema continuo è sempre non singolare e l'operazione da lei proposta non ammette soluzione. Veda, a tale riguardo, anche l'esercizio 28 del testo Teoria dei Sistemi: Esercizi e applicazioni.

#30 Non sono riuscito a capire bene il calcolo della matrice di transizione, ad esempio per il sistema con matrice dinamica

    | -d  1  0  |
A = |  0 -d  0  |
    |  0  0 -e  |

Mi potrebbe spiegare cortesemente i procedimenti di calcolo per un sistema lineare stazionario continuo? (Fabio Marcantonini)

La matrice di transizione è, in questo caso, l'esponenziale di matrice e può venire calcolata con uno qualunque dei metodi che abbiamo visto a lezione (e che può trovare descritti sul testo di teoria adottato) per le funzioni di matrice. Può anche fare riferimento ai numerosi esempi riportati sul testo Teoria dei sistemi: Esercizi e Applicazioni (Esercizi 3,5,8,9,16,21,23 e 24). Nelle esercitazioni svolte durante il corso abbiamo quasi sempre usato il metodo del polinomio interpolante che richiede l'inversione della matrice di Vandermonde associata agli autovalori della matrice di cui calcolare la funzione; nel caso che lei sottopone tuttavia la matrice è in forma di Jordan e la forma dell'esponenziale è nota (anche questa la può trovare direttamente sul testo di teoria adottato) e può venire quindi scritta senza la necessità di effettuare alcun calcolo. Risulta infatti:

          | exp(-dt)    t*exp(-dt)       0    |
exp(At) = |     0        exp(-dt)        0    |
          |     0           0        exp(-et) |

#31 Appena illustrata la nozione di osservabilità, a lezione lei ha spiegato che nei sistemi lineari la determinazione dell'insieme caratteristico E^-(t₀,t₁,u(.),y(.)) non è legata allo specifico ingresso, poiché esso coincide con E^-(t₀,t₁,0,y₀(.)). Effettivamente, per via della scomponibilità del moto in tali sistemi, la risposta forzata è, per un dato ingresso, la stessa per tutti gli stati dello spazio degli stati X e dunque ciò che distingue gli stati è la loro risposta libera y₀(.). Se però i "dati" del problema dell'osservazione dello stato iniziale sono le funzioni u(.) e y(.), l'estrazione della risposta libera y₀(.) dalla y(.) non può prescindere dalla u(.), giacché, per ogni t>=t₀, y₀(t) = y(t)-y_f(t) = y(t)-gamma(t,t₀,u(.),0). Come possiamo allora dire che E^-(t₀,t₁,u(.),y(.)) =E^-(t₀,t₁,0,y₀(.)) non dipende da u(.)? (Paolo Gianessi)

Per il semplice motivo che otteniamo lo stesso sottospazio qualunque sia la funzione di ingresso applicata al sistema.

#32 Con riferimento alle equazioni

dx(t)/dt = A(t)x(t)              (1)
dx(t)/dt = A(t)x(t) + B(t)u(t)   (2)

che descrivono la velocità di transizione dello stato in un sistema dinamico lineare nonstazionario nei casi libero e forzato, le pongo le seguenti domande:

a) Sappiamo che l'insieme delle soluzioni di (1) è uno spazio vettoriale V di dimensione n (=dimensione dello spazio degli stati) una cui base è data da un insieme di soluzioni di (1) linearmente indipendenti quali ad esempio le colonne della matrice di transizione dello stato. Ma cosa vuol dire "funzioni linearmente indipendenti"? Forse un insieme (f_i(t))   i=1..n tale che per ogni t i vettori f_i(t) siano tra loro linearmente indipendenti?

b) Non mi è chiaro per quale motivo x(.) = 0, soluzione ovvia di (1), è l'unica a potersi annullare, o meglio: per quale motivo per ogni x*(.) soluzione di (1) vale l'implicazione: (esiste t*) t.c. x*(t*) = 0 => x*(.) è la soluzione ovvia?

c) Sviluppando la (1) si ha: dx(t) = A(t)x(t)dt => x(t) = x(t₀) + integrale di [A(tau)x(tau)dtau] da t0 a t, equivalente a x(t) = Phi(t,t₀) x(t₀). Sviluppando in modo analogo la (2), si ottiene x(t) = x(t₀) + int. di [A(tau)x(tau)dtau] da t₀ a t + int. di [B(tau)u(tau)dtau] da t₀ a t = Phi(t,t₀)x(t₀) + int. di [B(tau)u(tau)dtau], diversa dall'espressione fornita dal testo e da lei a lezione, nella quale nell'ultimo integrale u(tau) è premoltiplicato non per B(tau) ma per il nucleo di convoluzione V(t,tau). Dov'è che sbaglio?

d)Qual'è il significato fisico dei due nuclei di convoluzione V(t,tau) := Phi(t,tau)B(tau), W(t,tau) := C(t)Phi(t,tau)B(tau)? (Paolo Gianessi)

a) Le funzioni f_i(t) vengono definite linearmente indipendenti quando nessuna di esse può venire espressa come combinazione lineare delle rimanenti; si tratta, come vede, della usuale definizione di lineare indipendenza.

b) La proprietà da lei citata è una conseguenza del teorema di esistenza e unicità della soluzione di un'equazione differenziale lineare che dovrebbe già conoscere per il caso scalare. Per il caso vettoriale può fare riferimento alla dimostrazione riportata sul testo di teoria adottato.

c) Nel non considerare correttamente l'azione dell'ingresso sullo stato nell'integrazione di dx; può facilmente verificare la non correttezza della espressione da lei ottenuta calcolandone la derivata.

d) Come ho sottolineato più volte, allo stato di un sistema non è necessariamente associato un significato fisico; non è quindi possibile, in generale, dare un significato fisico a V(t,tau). Sul significato fisico di W(t,tau) (matrice di risposta impulsiva) mi sono invece soffermato a lungo; la invito quindi a riguardare gli appunti presi a lezione o la descrizione riportata sul libro di testo.

#33 Vorrei un chiarimento riguardo alla relazione tra il polinomio minimo e la parte raggiungibile e osservabile di un sistema. In particolare, perché l'ordine della parte raggiungibile e osservabile di un sistema è uguale al grado del polinomio minimo? Inoltre, sussiste qualche relazione tra i poli di un sistema e gli zeri del polinomio minimo? (Marco Bevilacqua)

Consideriamo la matrice di trasferimento del sistema che, come abbiamo verificato facendo riferimento alla scomposizione canonica di Kalman, descrive la sola parte raggiungibile ed osservabile del sistema. Risulta G(s)=C(sI-A)^-1B= C agg(sI-A)B/p(s) ove p(s)=det(sI-A) indica il polinomio caratteristico di A. Se ora indichiamo con r(s) il massimo comun divisore monico degli elementi di agg(sI-A) e ricordiamo la relazione m(s)=p(s)/r(s) ove m(s) indica il polinomio minimo di A, arriviamo subito alla relazione G(s) = P(s)/m(s) (ove P(s)=agg(sI-A)/r(s)) che dimostra quanto da lei richiesto. I poli di un sistema sono gli zeri dei polinomi a denominatore negli elementi della matrice di trasferimento quindi, per quanto visto sopra, gli zeri del polinomio minimo di A, cioè gli autovalori associati alla parte raggiungibile ed osservabile del sistema.

#34 In un sistema lineare stazionario a tempo continuo, il sottospazio di raggiungibilità dello stato zero non dipende dall'ampiezza dell'intervallo di tempo che si ha a disposizione; vorrei sapere se, considerando uno stato diverso dallo stato zero, gli elementi di R⁺(x) cambiano in funzione dell'intervallo di tempo. Si può supporre un'interpretazione per cui, se lo stato x appartiene a R⁺(0) allora gli elementi di R⁺(0) coincidono con quelli di R⁺(0) mentre se x non appartiene a R⁺(0) il contributo del moto libero fa variare gli elementi di R⁺(x) in funzione del tempo? (Marco Bevilacqua)

La notazione che lei utilizza non può venire considerata corretta perché la notazione R⁺(x) fa implicitamente riferimento ad un intervallo di ampiezza non limitata; andrebbe quindi aggiunto il pedice "t" all'insieme considerato per poterlo riferire ad intervalli di ampiezza limitata. Ciò posto, le ricordo che l'insieme R_t⁺(x) è la varietà lineare definita dal sottospazio R⁺(0) e dallo stato e^Atx. Tale insieme è quindi soggetto a variazioni in funzione di t a meno che x non appartenga ad un sottospazio invariante rispetto ad A contenuto in R⁺(0); un caso di rilievo che soddisfa questa condizione è ovviamente costituito dalla condizione R⁺(0)=X.

#35 Il concetto di polo è stato introdotto nell'ambito dei modelli di ingresso/uscita mentre talora mi pare che venga usato in contesti più ampi, e mi capita spesso in tali contesti di mescolare il significato di poli e autovalori. (Luca Fiuzzi)

I poli di un sistema sono gli zeri dei polinomi a denominatore negli elementi della matrice di trasferimento; coincidono con gli zeri del polinomio minimo della matrice dinamica del sistema o, se preferisce, con gli autovalori associati alla parte raggiungibile ed osservabile del sistema. I poli quindi sono una parte degli autovalori del sistema; per i sistemi completamente raggiungibili ed osservabili poli ed autovalori della matrice dinamica coincidono e i due termini possono venire usati indifferentemente.

#36 Risposta armonica, nozioni di base. (Clementina D'Onofrio)

La risposta armonica o frequenziale descrive il comportamento a regime di un sistema lineare quando al suo ingresso viene applicato un segnale sinusoidale. Se si considera un sistema con un solo ingresso ed una sola uscita e si indica con omega la pulsazione della sinusoide in ingresso e con G(s) la funzione di trasferimento, la risposta frequenziale è data dalla funzione G(j omega) il cui modulo fornisce il rapporto tra l'ampiezza della sinusoide in uscita e quella di ingresso (ovviamente della stessa frequenza data la linearità del sistema) mentre l'argomento fornisce lo sfasamento tra le due sinusoidi. L'estensione al caso di più ingressi ed uscite si ottiene considerando i singoli elementi della matrice di trasferimento (cioè le funzioni di trasferimento tra i singoli ingressi e le singole uscite); si ricordi inoltre che per i sistemi lineari vale la sovrapposizione degli effetti.

#37 Una matrice di transizione FI(i,j), con i>j, per un sistema dinamico descritto dal modello x(t+1)=B(t)u(t) è sempre una matrice idempotente e nilpotente? (A=A*A=A*A*...*A=0) (R.R.)

Nel sistema da lei considerato risulta A=0 quindi valgono le proprietà da lei indicate.

#38 Per quale motivo l'integrale di un impulso Dirac è uguale ad 1? Infatti l'impulso Dirac corrisponde ad un "bastoncino" di base praticamente nulla ed altezza infinita e quindi l'area sottesa da tale curva è nulla. Allora è forse una convenzione? Inoltre per quale motivo l'integrale del prodotto di una funzione f(t) con l'impulso di Dirac (applicato in t₀) è uguale al valore che assume la funzione nel punto t₀? O meglio come si spiega (matematicamente) il fatto che effettuando il prodotto, il "bastoncino" dell'impulso di Dirac non ha più altezza infinita, ma ha altezza uguale all'"altezza" della funzione f"? (Luca Scalorbi)

L'impulso di Dirac non è una funzione e richiede, per una corretta trattazione matematica, l'uso delle distribuzioni. La risposta all'impulso di Dirac di qualunque sistema reale è tuttavia approssimabile con la precisione desiderata attraverso la risposta ad un impulso di ampiezza sufficientemente stretta e di area unitaria. Nell'ambito del corso abbiamo considerato come impulso di Dirac il limite cui tende un impulso di ampiezza finita e di area unitaria quando si fa tendere tale ampiezza a zero e, per una funzione di tale tipo, valgono entrambe le proprietà da lei indicate.

#39 Un sistema dinamico lineare e stazionario, ridotto in forma minima, ha al più due blocchi (i due blocchi osservabili)? Perché? Vale anche per i sistemi discreti? (Sun Dec 12 15:36:56 1999, R.R.)

Un sistema è in forma minima quando privo di stati equivalenti e questo equivale, per i sistemi lineari stazionari continui e discreti, alla completa osservabilità. Nella scomposizione canonica di Kalman di tali sistemi potranno quindi essere presenti solamente blocchi relativi alle parti osservabili.

#40 Un sistema dinamico, lineare e stazionario, discreto, con un solo ingresso ed una sola uscita ha il polinomio minimo della matrice dinamica diverso dal polinomio caratteristico. È necessariamente asintoticamente stabile? Perché? Tali caratteristiche del sistema, a quali proprietà, circa la stabilità, possono essere legate? (Sun Dec 12 15:36:56 1999, R.R.)

L'informazione deducibile dalla non coincidenza tra il polinomio minimo e quello caratteristico riguarda la presenza, nella matrice dinamica del sistema, di almeno due blocchi di Jordan associati allo stesso autovalore e questo implica, nel caso da lei citato, che il sistema non sia né completamente raggiungibile né completamente osservabile. Non vi è invece alcuna connessione con la stabilità a meno di non aggiungere altre informazioni (es. blocchi multipli associati ad un autovalore con modulo unitario).

#41 Per un sistema dinamico a tempo discreto x(k+1)=Ax(k)+Bu(k), di ordine n, risulta im B = n e dim KerC > 0. La condizione dim KerC > 0 indica che lo spazio nullo della matrice C ha dimensione maggiore o uguale ad 1. Perché ciò è compatibile con la completa osservabilità del sistema? (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)

La condizione dim KerC > 0 implica solo che non si possa ricostruire direttamente lo stato dall'uscita mediante la relazione algebrica x(t) = P⁺y(t). L'osservatore dello stato è invece un sistema dinamico cioè dotato di memoria in grado di ricostruire lo stato in base alla osservazione di un certo numero di campioni dell'ingresso e dell'uscita del sistema. In altre parole, l'informazione sullo stato al tempo t che non viene fornita dall'uscita in tale istante viene dedotta dai valori che l'uscita assume in altri istanti.

#42 Un sistema dinamico, lineare e stazionario, risulta stabile i.l.u.l, ma non i.l.s.l. Ciò vuol dire che esistono modi semplicemente stabili o instabli nella parte raggiungibile e non osservabile del sistema. Non possiamo dire nulla sulla completa raggiungibilità del sistema, dal momento che non sappiamo se esiste una parte osservabile e non raggiungibile? (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)

Certamente

#43 Per quali tipi di sistemi la completa ossevabilità implica la completa ricostruibilità? E per quali la completa raggiungibilità implica la completa controllabilità? (Considerare il caso sia di sistemi continui, sia discreti). (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)

Le implicazioni da lei considerate derivano dalla non singolarità della matrice di transizione; sono quindi sempre vere per i sistemi continui e per quelli discreti con matrice di transizione non singolare come, ad esempio, i modelli discreti dei sistemi continui.

#44 Un sistema puramente dinamico, con un ingresso ed una uscita ed n autovalori distinti, ha il polinomio minimo uguale al polinomio caratteristico, indipendentemente dalla sua completa raggiungibilità e osservabilità. La funzione di trasferimento G(s) ha come denominatore il polinomio minimo della matrice dinamica associata alla parte raggiungibile ed osservabile. Il grado del denominatore è sempre uguale ad n sia che il sistema sia completamente raggiungibile ed osservabile che in caso contrario, essendo tutti gli autovalori distinti? (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)

Il grado dei polinomi a denominatore negli elementi della matrice razionale (sI-A)^-1 è uguale, in questo caso, ad n data la coincidenza tra polinomio minimo e caratteristico (il massimo comun divisore monico della matrice polinomiale agg(sI-A) è di grado zero cioè uguale ad 1). Il grado del denominatore della funzione di trasferimento è invece uguale alla dimensione della parte raggiungibile ed osservabile del sistema che può benissimo non coincidere con l'intero sistema; lo può immediatamente verificare su un sistema di ordine n con autovalori tutti distinti e B=[1 0 ... 0]^T, C=[1 0 ... 0].

#45 Se la funzione di trasferimento di un sistema, con un ingresso ed una uscita, è il rapporto di due polinomi dello stesso ordine, il sistema è puramente algebrico. Perché posso dire che il sistema è dinamico, non puramente? (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)

Il sistema considerato non è affatto "puramente algebrico". È invece non puramente dinamico che è tutt'altra cosa. Un sistema non puramente dinamico è un sistema dinamico nel quale l'ingresso agisce sull'uscita, oltre che attraverso l'evoluzione dello stato come in tutti i sistemi dinamici, anche in maniera diretta cioè attraverso un legame algebrico tra ingresso ed uscita. Se considera, per maggior chiarezza, un modello a tempo discreto, si renderà conto immediatamente che questo significa avere polinomi a denominatore e numeratore della funzione di trasferimento dello stesso ordine. Riveda anche gli esempi relativi a reti elettriche che ho utilizzato a lezione per illustrare la differenza tra sistemi puramente dinamici e non.

#46 Due sistemi dinamici, lineari e stazionari, completamente raggiungibili, hanno matrici di risposta impulsiva coincidenti. Possono avere matrici dinamiche simili? Perché? (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)

La coincidenza delle matrici di risposta impulsiva implica la similitudine delle matrici dinamiche della parte raggiungibile ed osservabile dei due sistemi mentre non fornisce alcuna informazione sulle parti restanti.

#47 In un sistema dinamico, lineare e stazionario, in forma minima e completamente raggiungibile, la stabilità ilsl coincide con la stabilità ilul? Sono entrambe uguali alla stabilità asintotica? Perché? (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)

In un sistema di questo tipo esiste solo la parte completamente raggiungibile ed osservabile quindi le condizioni relative ai tre tipi di stabilità sono necessariamente coincidenti.

#48 Perché nei sistemi dinamici, lineari e stazionari, stabili ilsl, gli elementi della matrici di risposta impulsiva sono funzioni che tendono a zero al tendere del tempo all infinito? (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)

Perché combinazioni di modi della parte raggiungibile ed osservabile che, nei sistemi stabili ilsl, sono asintoticamente stabili. Tenga presente che la stessa proprietà vale anche per i sistemi stabili ilul e, ovviamente, per quelli asintoticamente stabili.

#49 Quali caratterisiche ha l'errore di stima dello stato in un osservatore identità per un sistema dinamico, lineare e stazionario, non in forma minima? (Sun Dec 19 17:25:52 1999, R.R.)

La dinamica dell'errore associato allo stato della parte osservabile del sistema può venire assegnata ad arbitrio scegliendo opportunamente la matrice dei guadagni dell'osservatore; quella dell'errore associato alla stima dello stato della parte non osservabile coincide invece con la dinamica di tale parte del sistema (quindi tale errore tende a zero al crescere del tempo solo se la parte non osservabile del sistema risulta asintoticamente stabile).

#50 Non mi è chiaro perché in un sistema lineare e stazionario E⁺t₁(0,0) sia contenuto in E⁺t₂(0,0) se t2>t1. Potrebbe rispiegarmelo. (Sun Jan 2 23:10:58 2000, Alessandro Caselli)

Ogni stato iniziale che, con ingresso nullo, generi uscita nulla in un certo intervallo di tempo genera la stessa uscita nulla in qualunque sottointervallo indipendentemente, inoltre, dalla allocazione di tali intervalli sull'asse dei tempi grazie alla ipotesi di stazionarietà.

#51 Ho scritto (più volte per la verità...) che x(t)=Teta(t)*Teta^-1(t₀). Non si dovrebbe invece indicare, visto che abbiamo detto che la matrice di transizione può essere espressa come prodotto di una certa matrice Teta funzione di t e della sua inversa funzione di t₀, x(t)=Teta(t)*Teta^-1(t₀)x₀? (Mon 27 Dec 22:32:19 1999, Raffaele Landolfi)

La scomposizione della matrice di transizione non può inglobare in alcun modo lo stato iniziale del sistema; lo stato iniziale deve quindi venire sempre incluso nella espressione del moto libero di un sistema.

#52 A lezione abbiamo visto che se un sistema è lineare ed è diagnosticabile o incasellabile allora è anche rispettivamente completamente osservabile o completamente ricostruibile. Vale una proprietà analoga anche per quanto riguarda la controllabilità e la raggiungibilità? (Sun Jan 2 23:14:28 2000, Alessandro Caselli)

Solo indirettamente, attraverso il sistema duale. Le proprietà di raggiungibilità e di controllabilità di un sistema corrispondono infatti a quelle di osservabilità e di ricostruibilità del sistema duale.

#53 In un sistema lineare stazionario discreto, in una lezione ho scritto che gli stati controllabili allo stato zero sono uguali a Im(A_d)^-1P_i mentre sul libro viene usata l'espressione (A_d)^-1ImP_i. Le due espressioni sono uguali o quale delle due è corretta? Inoltre se A_d non è invertibile, come effettuo il calcolo? (Mon Jan 3 18:50:31 2000, Simone Melchiori)

Si narra che il filosofo Benedetto Croce abbia risposto una volta ad un giornalista che gli chiedeva come mai i filosofi rispondessero così spesso alle domande con altre domande, con uno spiritoso "E perché no?". Le cito questo aneddoto perché sarei tentato di rispondere alla sua domanda con la domanda seguente: Lei come calcola l'espressione (A_d)^-1Im(P_i) riportata sul testo? La risposta, ovviamente, è che l'espressione che vi ho dato evidenzia proprio come si procede al calcolo della espressione (del tutto equivalente) riportata nel testo. Le ricordo poi che nella espressione considerata (A_d)^-1 non indica, in generale, l'inversa di A_d ma l'immagine inversa rispetto alla trasformazione lineare descritta da A_d; solo nel caso A_d risulti non singolare tale trasformazione sarà descritta dalla matrice inversa mentre negli altri casi si utilizzerà l'espressione che abbiamo visto a lezione cioé (A_d)⁺(Im(P_i) int Im(A_d)) + ker(A).

#54 In un osservatore identità tra gli appunti ho scritto che se il sistema non è completamente osservabile, posso modificare solo gli autovalori della parte osservabile, mentre per le altre componenti seguirà la dinamica dei blocchi 3 e 4 della scomposizione di Kalman. Studiando però mi sembrerebbe corretto che le componenti non osservabili seguano la dinamica dei blocchi 1 e 3 della scomposizione di Kalman, che sono quelli relativi appunto alla parte non osservabile. Hanno ragione i miei appunti o ho ragione io? (Mon Jan 3 18:54:20 2000, Simone Melchiori)

L'osservatore di un sistema dinamico non ha mai parti non osservabili dato che la sua uscita coincide con lo stato; lei intende, probabilmente, fare riferimento alla dinamica di quella parte dell'osservatore preposta alla ricostruzione dello stato delle parti non osservabili del sistema. La dinamica di tale parte è la stessa della parte non osservabile del sistema (non è influenzata dalla matrice K) quindi perché l'osservatore funzioni correttamente (come modello, per quanto riguarda questa parte) è necessario che le parti non osservabili del sistema (blocchi 1 e 3) abbiano tutti i modi asintoticamente stabili. La dinamica della parte dell'osservatore preposta alla ricostruzione (non dimentichiamo che il nome osservatore è improprio) dello stato della parte osservabile del sistema (blocchi 2 e 4) può invece venire sempre assegnata ad arbitrio agendo sulla matrice dei guadagni K. Aggiungo una osservazione non specifica: a giudicare da tutto quello che avete scritto negli appunti presi a lezione si deduce l'impressione che, a lezione, anziché prendere appunti sarebbe meglio cercare di capire quanto il docente espone. Questa sarebbe infatti la base migliore per affrontare lo studio degli argomenti su base non mnemonica utilizzando il libro di testo e tutte le altre sorgenti (tante per questo corso!) messe a disposizione invece che cercando di dare un senso ad appunti spesso errati per la fretta e/o la mancata comprensione di quanto si sta affannosamente scrivendo. Il prof. Giuseppe Zwirner, che ho avuto l'onore di avere come docente, vietava tassativamente che si prendessero appunti durante le sue lezioni proprio perché, la sua grande esperienza didattica gli indicava chiaramente come ciò significasse perdere buona parte della utilità della lezione stessa.

#55 Non mi sono ben chiare le definizioni di stato zero e uscita zero. Lo stato zero è lo stato x=0 (origine dello spazio degli stati) che risulta essere di equilibrio con ingresso u=0 o con un qualunque ingresso? E l'uscita zero? (Tue Jan 4 10:02:17 2000, Claudio Beltrani)

Lo stato zero e l'uscita zero (vettore zero dello spazio degli stati e di quello delle uscite) esistono solo per i sistemi a stato vettore ma hanno interesse solo per quelli lineari (continui o discreti). Per tali sistemi è immediato verificare come lo stato zero sia di equilibrio con ingresso zero e come generi, se il sistema è puramente dinamico, uscita nulla. Una ulteriore proprietà dello stato zero nei sistemi lineari è quella di risultare equivalente ad ogni stato non osservabile; un sistema lineare è quindi in forma minima quando nel suo insieme degli stati non sono presenti stati equivalenti allo stato zero.

#56 Per un sistema discreto del primo ordine, lineare e stazionario, la risposta impulsiva vale w(k)=ca^k-1b? (Wed Jan 5 10:50:40 2000, R.R.)

Certamente.

#57 Il sistema x(k+1)=u(k), y(k)=x(k) è completamente osservabile e raggiungibile. Allora è sicuramente ricostruibile, ma è completamente controllabile solo se A è non singolare. Essendo A=0, non possiamo dire nulla circa la controllabilità. Vero? Perché? (Wed Jan 5 10:50:40 2000, R.R.)

Falso. Il sistema in esame è completamente controllabile; basta infatti applicare, in qualunque stato si trovi, ingresso nullo per portare a zero lo stato in una sola transizione. Può ottenere lo stesso risultato calcolando il sottospazio di controllabilità. Occorre al riguardo calcolare l'immagine inversa secondo A del sottospazio di raggiungibilità; tale immagine inversa include il nucleo di A quindi coincide, in questo caso, con l'intero spazio degli stati.

#58 Se dim ker C > 0, significa che E^-(0,0) contiene più di un elemento. Allora il sistema non è completamente osservabile. Dove sbaglio? (Wed Jan 5 10:50:40 2000, R.R.)

Sbaglia nel legare il sottospazio di inosservabilità al nucleo della matrice di distribuzione delle uscite; E^-(0,0) può benissimo contenere il solo vettore 0 anche quando dim ker C > 0, anzi tale situazione è la più frequente. dim ker C > 0 significa solo che non possiamo dedurre lo stato mediante una trasformazione algebrica dell'uscita e questa, ripeto, è la situazione di gran lunga più comune. Il fatto che E^-(0,0) contenga stati diversi da zero significa invece che non è possibile dedurre lo stato del sistema mediante un osservatore che, ricordiamolo bene, è un sistema dinamico che ricostruisce (si dovrebbe, come vi ho detto più volte, chiamarlo ricostruttore) lo stato in base ai valori assunti dall'uscita e dall'ingresso in un certo intervallo di tempo, non in un solo istante.

#59 Una retroazione sull'ingresso dello stato, stimato mediante un osservatore identità in un sistema dinamico, lineare, stazionario, in forma minima, completamente raggiungibile, stabile ilsl, può portare a un sistema non stabilizzabile ilsl, visto che può modificare ad arbitrio tutti gli autovalori del sistema (blocco raggiungibile e osservabile)? (Wed Jan 5 10:50:40 2000, R.R.)

Il sistema in oggetto è completamente raggiungibile e tale caratteristica non può venire modificata da una retroazione tra lo stato o lo stato osservato e l'ingresso (che non modifica né la dimensione né l'orientamento del sottospazio di raggiungibilità, qui coincidente con l'intero spazio degli stati). Ne segue che una retroazione del tipo considerato può rendere il sistema instabile ilsl (ma qui la stabilità ilsl coincide con la ulsl e quella asintotica) ma non non stabilizzabile.

#60 Perché la retroazione stato-ingresso non modifica la dimensione di R⁺(0)? Vale la relazione R⁺(0)=im [B AB ... A^n-1B] = im [B (A+BK)B ... (A+BK)^n-1B] o i due spazi hanno solo la stessa dimensione? (Tue Jan 4 18:38:56 2000, Alessandro Caselli)

La retroazione stato-ingresso non può diminuire la dimensione del sottospazio di raggiungibilità perché, come può dedurre immediatamente dalle espressioni presenti nella sua domanda, tutte le colonne della matrice di raggiungibilità del sistema non retroazionato sono presenti anche in quella del sistema retroazionato. Non può neppure aumentarne la dimensione perchè, agendo attraverso l'ingresso, può modificare solo le caratteristiche della parte raggiungibile. Osservando la struttura dei termini della matrice di raggiungibilità del sistema retroazionato è poi facile dedurre la coincidenza dei due sottospazi (suggerimento per la dimostrazione: si ricordi che R⁺(0)=mi(A,im B)).

#61 Se la risposta libera, a partire da un opportuno stato iniziale, di un sistema dinamico, lineare, stazionario, ha andamento sinusoidale, il sistema può essere asintoticamente stabile, se gli autovalori immaginari coniugati hanno parte reale <0? (Wed Jan 5 10:50:40 2000, R.R.)

Se la sinusoide osservata è smorzata, ha cioè ampiezza che tende a zero al tendere del tempo all'infinito, il sistema può essere asintoticamente stabile. Se invece l'ampiezza di tale sinusoide è costante o cresce con il tempo il sistema non può risultare asintoticamente stabile. Se ne può rendere facilmente conto riguardando l'andamento nel tempo dei modi del sistema.

#62 Se due basi dei sottospazi E^-(0,0) e R⁺(0) sono date rispettivamente da

                    | 1  0 |          | 0   1  -6   36 |                    
              | 0  0 |          | 0   0   0    0 |              
             | 0  0 |          | 0   1  -8   49 |             
             | 0  0 |          | 1  -3   9  -27 |             
| 0  1 |          | 0   0   9  -47 |

quanto vale una base della intersezione di tali sottospazi (per determinare una base della parte raggiungibile e osservabile nella scomposizione canonica di Kalman). (Sun Jan 9 11:18:05 2000, R.R.)

Utilizzando la modalità di calcolo che abbiamo visto sia a lezione che nelle esercitazioni per il calcolo della intersezione di due sottospazi come complemento ortogonale della somma dei due complementi ortogonali, si ricava immediatamente (il complemento ortogonale di R⁺(0) ha come base la seconda colonna della identità, il complemento ortogonale di E^-(0,0) la seconda, terza e quarta colonna della identità) che l'intersezione cercata coincide con E^-(0,0) ed ha, quindi la stessa base. Questo è un caso nel quale una operazione complicata (intersezione di due sottospazi) non richiede alcun calcolo purché, naturalmente, si conosca con chiarezza il procedimento da seguire. Spero anche non le sfugga che l'intersezione tra tali sottospazi descrive la parte raggiungibile e non osservabile del sistema.

#63 Dato un sistema lineare stazionario continuo, si richiede il modello della parte raggiungibile del sistema. Non riesco a trovare la trasformazione di coordinate T; mi sembra di capire che occorre R⁺(0)=imP e E^-(0,0)=kerQ. A tale proposito ho 3 domande: Quando arresto lo sviluppo di P=[B AB .. A^(n-1)B] e di Q? Se P e Q sono calcolate corrette, ho i sottospazi corrispondenti, come si calcola l'intersezione di tali sottospazi? E dall'imT₁ come ricavo la colonna T₁? (Tue Jan 11 23:33:45 2000, Enrico Macchiavelli)

La determinazione della sola parte raggiungibile di un sistema non richiede che si effettui la scomposizione canonica di Kalman del sistema; è sufficiente passare ad una base partizionata in una base del sottospazio di raggiungibilità e in un insieme di vettori che completino la base dell'intero spazio (riveda, a tale riguardo, quanto abbiamo visto a lezione e quanto riportato al punto c) dell'esercizio 2 sul libro Teoria dei Sistemi: Esercizi e applicazioni). Per quanto riguarda poi le domande specifiche che mi pone: 1) L'arresto dei termini presenti in P e Q viene operato non appena si incontra una matrice le cui colonne risultino linearmente dipendenti dalle precedenti. 2) L'intersezione di due sottospazi viene calcolata (anche questo lo abbiamo visto sia a lezione che nelle esercitazioni) come complemento ortogonale della somma dei complementi ortogonali dei due sottospazi. 3) La terza domanda non è formulata in maniera corretta: non vi è infatti alcun motivo perché, in generale, la sottomatrice T₁ debba essere formata da una sola colonna (tale sottomatrice può avere da 0 ad n colonne). Se la domanda riguarda le modalità di calcolo di una base per lo spazio generato dalle colonne di una matrice, allora la risposta può essere: mediante l'algoritmo di ortonormalizzazione di Gram-Schmidt. Penso le possa tornare utile studiare a fondo l'intero esercizio 2 citato poco sopra.

#64 Nei miei appunti, alla fine della Raggiungibilità e Controllabilità per i sistemi lineari non stazionari continui ho scritto che R⁺ ed R^- hanno la stessa dimensione. E' corretto? Se è corretto lo si può anche completare affermando che i due sottospazi coincidono quindi "se tale sistema è completamente raggiungibile ==> è anche completamente controllabile" e viceversa? (Mon Jan 17 15:59:26 2000, Claudio Beltrani)

L'eguaglianza delle dimensioni dei due sottospazi deriva dalla non singolarità della matrice di transizione della classe di sistemi considerata che, a sua volta, non implica, per i sistemi lineari non stazionari, l'eguaglianza dei due sottospazi. Nel caso uno dei due sottospazi coincida con l'intero spazio, ne segue, ovviamente, che anche l'altro sottospazio coinciderà con l'intero spazio.

#65 Sempre nei miei appunti, all'inizio dell'Osservabilità e Ricostruibilità dei sistemi lineari non stazionari continui ho scritto che un sistema lineare non stazionario continuo che risulti diagnosticabile lo è anche completamente (cioè è diagnosticabile indipendentemente dall'ingresso applicato). E' corretto? (Mon Jan 17 15:59:26 2000, Claudio Beltrani)

Sì, grazie alla scomposizione della risposta in risposta libera e risposta forzata.

#66 Se lo stato iniziale x dà uscita y(.) con ingresso u(.) nell'intervallo [t₀,t₁], tutti gli altri stati iniziali che danno uscita y(.) fanno parte di:

a) E^-(t₀,t₁,0,0)?
b) E^-(t₀,t₁,0,y(.))?
c) E^-(t₀,t₁,0,y₀(.))?
d) alcuni possono fare parte di E^-(t₀,t₁,u(.),y₀(.))?

(Mon Jan 17 15:59:26 2000, Claudio Beltrani)

Se il sistema considerato è lineare (lei non lo specifica), l'insieme di stati iniziali che, con l'ingresso u(.) danno l'uscita y(.) in [t₀,t₁] è la varietà lineare definita da E^-(t₀,t₁,u(.),y(.)) e dal sottospazio E^-(t₀,t₁,0,0).

#67 Un sistema in forma minima è sempre completamente osservabile , o ciò è vero se e solo se il sistema è lineare? (Mon Jan 17 15:59:26 2000, Claudio Beltrani)

Solo se è lineare, per i motivi più volte riportati nelle domande precedenti.

#68 Ad un certo punto dei miei appunti viene affermato che: B^Te^AT(t₁-)x₁ = B^Te^ATx₁ con compreso tra 0 e t₁. Perché? (Sun Jan 23 15:26:03 2000, Danilo Tardioli)

I suoi appunti non sono completi; la proprietà che abbiamo utilizzato è infatti la seguente: B^Te^AT(t₁-)x₁=0 per compreso tra 0 e t₁ equivale alla condizione B^Te^ATx₁=0 sempre per compreso tra 0 e t₁ e questa proprietà è di verifica immediata.

#69 Ho poi scritto che B^Te^ATx₁ è una funzione analitica (che significa?) e che condizione necessaria e sufficiente affinché tale funzione si annulli per qualunque compreso tra 0 e t₁ è che si annullino anche tutte le sue derivate in [0,t₁]. Perché? (Sun Jan 23 15:26:03 2000, Danilo Tardioli)

Una funzione analitica in un certo intervallo è una funzione continua che ammette derivate continue di qualunque ordine. Condizione necessaria e sufficiente perché una funzione analitica si annulli in tutti i punti di un intervallo è che si annulli, assieme a tutte le sue derivate, in un punto (arbitrario) di tale intervallo. Nella dimostrazione cui lei fa riferimento abbiamo considerato, per semplicità, il punto =0.

#70 Sia S un sistema dinamico, lineare e stazionario, a dimensioni infinite il cui ingresso e la cui uscita appartengono a spazi vettoriali a dimensioni finite. Perché non è possibile rappresentare tale sistema con un modello polinomiale di ingresso-uscita? Quale tipo di sistema è descrivibile da un modello polinomiale di ingresso-uscita? (Thu Jan 27 14:56:38 2000, G.X.)

I modelli polinomiali di ingresso-uscita (con polinomi a coefficienti costanti) non sono in grado di descrivere la dinamica interna di eventuali parti osservabili ma non raggiungibili di un sistema a parametri distribuiti; potrebbero svolgere questo ruolo solo considerando coefficienti in grado di assumere valori locali. Il problema non si pone per la funzione di trasferimento o la risposta impulsiva a causa delle dimensioni finite ipotizzate per i relativi spazi vettoriali. Tali modelli descrivono sistemi lineari stazionari completamente osservabili e con spazio degli stati a dimensioni finite.