#1
Non ho capito perché è utile la matrice di covarianza nella
realizzazione di sequenze di ingresso/uscita di un sistema dinamico lineare,
stazionario e discreto. (Gabriele Tinti)
Operando sulla matrice di covarianza (campionaria) delle sequenze di
ingresso/uscita si ottiene il vantaggio di effettuare operazioni
algebriche su matrici simmetriche e di dimensione inferiore (qualora
si mettano in gioco tutti i campioni disponibili) rispetto a quelle
formate da sottomatrici di Hankel dei campioni di ingresso e di
uscita. I legami di lineare dipendenza tra le colonne delle matrici
di covarianza sono gli stessi presenti tra le colonne della matrice
dei campioni di i/u. Si noti che il termine matrice di covarianza
campionaria è corretto, per l'espressione che abbiamo
utilizzato quando abbiamo trattato il problema della realizzazione,
solo se le sequenze di ingresso e di uscita risultano a valor medio
nullo.
#2
Non ho capito cosa abbiamo inteso scrivendo E[w(t)wT(t)]
dove w(t) è un processo vettoriale bianco non misurabile che
agisce sullo stato del sistema, e come operativamente si calcola
E[w(t)wT(t)]. (Gabriele Tinti)
La notazione E[w(t)wT(t)] indica il valore atteso
del prodotto
di w(t) per il suo trasposto cioè, nell'ipotesi che
E[w(t)]=0, il nucleo di covarianza del processo w(t).
Tale matrice,
necessaria per il progetto del
filtro
di Kalman, non può venire dedotta dalle
sequenze di ingresso e di uscita (w(t) non è accessibile);
è quindi necessario,
per il progetto del filtro, ipotizzarne la conoscenza a priori. Spesso
viene usata una stima anche molto approssimata di tale matrice di
covarianza, affinandola poi in base allo scostamento tra la covarianza
fornita dal filtro sulla stima dello stato e quella teorica, fornita
dalla soluzione dell'equazione di Riccati.
#3
Mi può indicare qualche libro che tratti l'argomento
dell'identificazione dei sistemi dinamici?
In genere non rispondo alle domande anonime; nel suo caso tuttavia
ritengo si tratti solo di una dimenticanza. La letteratura
sull'argomento è vasta e comprende opere di valore abbastanza
differenziato. Due ottimi testi sono:
T. Söderstrom e P. Stoica, System Identification,
Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1989.
L. Ljung, System Identification: Theory for the User,
Prentice Hall, Englewood Cliffs, 1987.
Un'altro testo molto valido è:
J.P. Norton, An Introduction to Identification, Academic
Press, New York, 1986.
#4
Qual'è la differenza computazionale tra la realizzazione da campioni
di ingresso e uscita per i sistemi puramente dinamici e per quelli non
puramente dinamici? (Cristiano Carretti)
Nel caso di sistemi non puramente dinamici il modello che si ottiene
include termini dell'ingresso che agiscono direttamente (nello stesso
istante di tempo) sull'uscita; la matrice di Hankel dei campioni di
ingresso avrà quindi, in questo caso, lo stesso numero di colonne
di quella di uscita. Questo si traduce in un incremento nel numero
minimo di campioni necessari per effettuare la realizzazione (si vedano
le domande a pag. 7.21 e 7.22 del testo Teoria dei Sistemi: Test
commentati e risolti).
#5
Che differenza c'è tra matrice di covarianza e matrice di varianza?
(Wed Jan 5 10:50:40 2000, R.R.)
Matrice di varianza non è un termine utilizzato; si parla infatti di varianza con riferimento
a processi stocastici scalari e di matrice di covarianza per quelli vettoriali. Gli elementi
sulla diagonale della matrice di covarianza di un processo vettoriale sono poi le varianze
delle singole componenti del vettore.
